Definisi Taburan Hypergeometric
Dalam statistik dan teori kebarangkalian, sebaran hipergeometrik pada asasnya adalah taburan kebarangkalian yang berbeza yang menentukan kebarangkalian kejayaan k (iaitu beberapa cabutan rawak untuk objek yang dilukis yang mempunyai beberapa ciri yang ditentukan) dalam jumlah cabutan, tanpa penggantian, dari yang diberikan saiz populasi N yang merangkumi objek K yang mempunyai ciri itu dengan tepat, di mana undian mungkin berjaya atau mungkin gagal.
Rumus untuk kebarangkalian sebaran hipergeometrik diturunkan menggunakan sejumlah item dalam populasi, jumlah item dalam sampel, jumlah kejayaan dalam populasi, jumlah kejayaan dalam sampel, dan beberapa kombinasi. Secara matematik, kebarangkalian ditunjukkan sebagai,
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
di mana,
- N = Bilangan item dalam populasi
- n = Bilangan item dalam sampel
- K = Jumlah kejayaan dalam populasi
- k = Bilangan kejayaan dalam sampel
Purata dan sisihan piawai bagi sebaran hipergeometrik dinyatakan sebagai,
Purata = n * K / N Sisihan Piawai = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Penjelasan
Langkah 1: Pertama, tentukan jumlah item dalam populasi, yang dilambangkan oleh N. Contohnya, jumlah kad permainan di geladak adalah 52.
Langkah 2: Seterusnya, tentukan jumlah item dalam sampel, dilambangkan dengan n-misalnya, jumlah kad yang diambil dari dek.
Langkah 3: Seterusnya, tentukan contoh-contoh yang akan dianggap sebagai kejayaan dalam populasi, dan ini dilambangkan oleh K. Contohnya, jumlah hati di dek keseluruhan, iaitu 13.
Langkah 4: Seterusnya, tentukan contoh yang akan dianggap sebagai kejayaan dalam sampel yang diambil, dan ditunjukkan dengan k. Contohnya, jumlah hati dalam kad yang diambil dari geladak.
Langkah 5: Akhirnya, formula untuk kebarangkalian taburan hipergeometrik diturunkan dengan menggunakan sejumlah item dalam populasi (langkah 1), jumlah item dalam sampel (langkah 2), jumlah kejayaan dalam populasi (langkah 3) dan bilangan kejayaan dalam sampel (langkah 4) seperti gambar di bawah.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nContoh Taburan Hypergeometric (dengan Templat Excel)
Contoh # 1
Mari kita ambil contoh bentuk kad permainan biasa di mana 6 kad dilukis secara rawak tanpa penggantian. Tentukan kebarangkalian melukis dengan tepat 4 kad suite merah, iaitu berlian atau hati.
- Diberi, N = 52 (kerana terdapat 52 kad di geladak permainan biasa)
- n = 6 (Bilangan kad yang diambil secara rawak dari geladak)
- K = 26 (kerana terdapat 13 kad merah di setiap berlian dan rangkaian hati)
- k = 4 (Bilangan kad merah yang dianggap berjaya dalam sampel yang diambil)
Penyelesaian:
Oleh itu, kebarangkalian melukis tepat 4 kad suet merah dalam 6 kad yang dilukis dapat dikira menggunakan formula di atas sebagai,
Kebarangkalian = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6
= 26 C 4 * 26 C 2 / 52 C 6
= 14950 * 325/20358520
Kebarangkalian akan -
Kebarangkalian = 0.2387 ~ 23.87%
Oleh itu, terdapat 23.87% kebarangkalian untuk menarik tepat 4 kad merah sambil melukis 6 kad rawak dari dek biasa.
Contoh # 2
Mari kita ambil contoh lain dari dompet yang mengandungi 5 $ 100 bil dan 7 $ 1 bil. Sekiranya 4 bil dipilih secara rawak, maka tentukan kebarangkalian memilih tepat 3 $ 100 bil.
- Diberi, N = 12 (Bilangan $ 100 bil + Bilangan $ 1 bil)
- n = 4 (Bilangan bil yang dipilih secara rawak)
- K = 5 (kerana terdapat 5 $ 100 bil)
- k = 3 (Bilangan $ 100 bil yang dianggap berjaya dalam sampel yang dipilih)
Penyelesaian:
Oleh itu, kebarangkalian memilih tepat 3 $ 100 bil dalam 4 bil yang dipilih secara rawak dapat dikira menggunakan formula di atas sebagai,
Kebarangkalian = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4
= 5 C 3 * 7 C 1 / 12 C 4
= 10 * 7/495
Kebarangkalian akan -
Kebarangkalian = 0.1414 ~ 14.14%
Oleh itu, terdapat kemungkinan 14.14% untuk memilih tepat 3 $ 100 bil sambil menarik 4 bil rawak.
Perkaitan dan Kegunaan
Konsep taburan hipergeometrik adalah penting kerana ia memberikan cara yang tepat untuk menentukan kebarangkalian apabila bilangan percubaan bukan bilangan yang sangat besar dan sampel diambil dari populasi yang terbatas tanpa penggantian. Sebenarnya, taburan hipergeometrik serupa dengan taburan binomial, yang digunakan apabila jumlah percubaan banyak. Walau bagaimanapun, sebaran hipergeometrik digunakan untuk pengambilan sampel tanpa penggantian.
