Formula untuk Mengira Taburan Binomial
Formula Taburan Binomial digunakan untuk mengira kebarangkalian untuk memperoleh kejayaan x dalam percubaan n percubaan binomial yang tidak bersandar dan kebarangkalian diperoleh dengan gabungan antara bilangan percubaan dan bilangan kejayaan yang diwakili oleh nCx didarabkan dengan kebarangkalian kejayaan yang diperoleh dengan kekuatan bilangan kejayaan yang diwakili oleh px yang selanjutnya dikalikan dengan kebarangkalian kegagalan yang meningkat menjadi kekuatan perbezaan antara bilangan kejayaan dan bilangan percubaan yang diwakili oleh (1-p) nx.
Kebarangkalian memperoleh kejayaan x dalam percubaan bebas percubaan binomial diberikan oleh formula taburan binomial berikut:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
di mana p adalah kebarangkalian kejayaan
Dalam persamaan di atas, n C x digunakan, yang tidak lain hanyalah formula gabungan. Rumus untuk mengira kombinasi diberikan sebagai n C x = n! / x! (nx)! di mana n mewakili jumlah item (percubaan bebas), dan x mewakili jumlah item yang dipilih pada satu masa (kejayaan).
Dalam kes n = 1 dalam taburan binomial, pengedaran dikenali sebagai sebaran Bernoulli. Purata taburan binomial adalah np. Variasi taburan binomial adalah np (1-p).
Pengiraan Taburan Binomial (Langkah demi Langkah)
Pengiraan taburan binomial dapat diperoleh dengan menggunakan empat langkah mudah berikut:
- Langkah 1: Hitung gabungan antara bilangan percubaan dan jumlah kejayaan. Formula untuk n C x adalah di mana n! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1. Untuk nombor n, faktorial n boleh ditulis sebagai n! = n * (n-1)! Contohnya, 5! ialah 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Langkah 2: Hitung kebarangkalian kejayaan yang meningkat dengan kekuatan bilangan kejayaan yang p x .
- Langkah 3: Hitung kebarangkalian kegagalan yang meningkat dengan kekuatan perbezaan antara jumlah kejayaan dan jumlah percubaan. Kebarangkalian kegagalan adalah 1-p. Oleh itu, ini merujuk kepada memperoleh (1-p) nx
- Langkah 4: Ketahui produk hasil yang diperoleh dalam Langkah 1, Langkah 2, dan Langkah 3.
Contoh
Contoh # 1
Bilangan percubaan (n) adalah 10. Kebarangkalian kejayaan (p) adalah 0.5. Lakukan pengiraan taburan binomial untuk mengira kebarangkalian memperoleh tepat enam kejayaan.
Penyelesaian:
Gunakan data berikut untuk pengiraan taburan binomial.
Pengiraan taburan binomial dapat dilakukan seperti berikut,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0.5) 6 (1-0.5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0.015625 * (0.5) 4
= 210 * 0.015625 * 0.0625
Kebarangkalian Mendapat Tepat 6 Kejayaan akan-
P (x = 6) = 0.2051
Kebarangkalian untuk memperoleh tepat 6 kejayaan adalah 0.2051
Contoh # 2
Seorang pengurus syarikat insurans meneliti data polisi insurans yang dijual oleh jurujual insurans yang bekerja di bawahnya. Dia mendapati bahawa 80% orang yang membeli insurans motor adalah lelaki. Dia ingin mengetahui bahawa jika 8 pemilik insurans kenderaan dipilih secara rawak, kemungkinan besar 5 daripadanya adalah lelaki.
Penyelesaian: Kita mesti terlebih dahulu mengetahui apa itu n, p, dan x.
Pengiraan taburan binomial dapat dilakukan seperti berikut,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0.8) 5 (1-0.8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0.32768 * (0.2) 3
= 56 * 0.32768 * 0.008
Kebarangkalian Tepat 5 Kejayaan akan-
P (x = 5) = 0.14680064
Kebarangkalian 5 pemilik insurans kenderaan adalah lelaki adalah 0.14680064.
Contoh # 3
Pengurusan hospital sangat gembira dengan pengenalan ubat baru untuk merawat pesakit barah kerana kemungkinan seseorang berjaya dirawat olehnya sangat tinggi. Kebarangkalian pesakit berjaya dirawat oleh ubat adalah 0.8. Ubat itu diberikan kepada 10 pesakit. Cari kebarangkalian 9 atau lebih pesakit berjaya dirawat olehnya.
Penyelesaian: Pertama kita harus mengetahui apa itu n, p, dan x.
Kita mesti mencari kebarangkalian 9 atau lebih pesakit berjaya dirawat olehnya. Oleh itu, sama ada 9 atau 10 pesakit berjaya dirawat olehnya
x (nombor yang mesti anda cari kebarangkalian) = 9 atau x = 10
Kita mesti mencari P (9) dan P (10)
Pengiraan taburan binomial untuk mencari P (x = 9) boleh dilakukan seperti berikut,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0.8) 9 (1-0.8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0.134217728 * (0.2) 1
= 10 * 0.134217728 * 0.2
Kebarangkalian 9 Pesakit akan-
P (x = 9) = 0.2684
Pengiraan taburan binomial untuk mencari P (x = 10) boleh dilakukan seperti berikut,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0.8) 10 (1-0.8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0.107374182 * (0.2) 0
= 1 * 0.107374182 * 1
Kebarangkalian 10 Pesakit akan-
P (x = 10) = 0.1074
Oleh itu, P (x = 9) + P (x = 10) = 0.268 + 0.1074
= 0.3758
Oleh itu, kebarangkalian 9 atau lebih pesakit dirawat oleh ubat adalah 0.375809638.
Kalkulator Pembahagian Binomial
Anda boleh menggunakan kalkulator taburan binomial berikut.
| n | |
| hlm | |
| x | |
| Formula Pembahagian Binomial = | |
| Formula Pembahagian Binomial = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Perkaitan dan Penggunaan
- Hanya ada dua hasil
- Kebarangkalian setiap hasil tetap berterusan dari percubaan ke percubaan
- Terdapat sejumlah percubaan yang tetap
- Setiap percubaan adalah bebas, iaitu saling eksklusif dari yang lain
- Ini memberi kita taburan frekuensi kemungkinan hasil yang berjaya dalam sejumlah percubaan di mana setiap percubaan yang diberikan ini mempunyai kemungkinan kejayaan yang sama.
- Setiap percubaan dalam eksperimen binomial dapat menghasilkan hanya dua kemungkinan hasil. Oleh itu, namanya adalah 'binomial.' Salah satu hasil ini dikenali sebagai kejayaan dan yang lain sebagai kegagalan. Sebagai contoh, orang yang sakit mungkin bertindak balas terhadap rawatan atau tidak.
- Begitu juga, ketika kita melemparkan duit syiling, kita hanya dapat dua jenis hasil: kepala atau ekor. Taburan binomial adalah taburan diskrit yang digunakan dalam statistik, yang berbeza dengan taburan berterusan.
Contoh eksperimen binomial adalah membuang duit syiling, katakan tiga kali. Apabila kita membalikkan duit syiling, hanya dua hasil yang mungkin - kepala dan ekor. Kebarangkalian setiap hasil adalah 0.5. Oleh kerana duit syiling dilemparkan tiga kali, jumlah percubaan tetap, iaitu 3. Kebarangkalian setiap lemparan tidak dipengaruhi oleh lemparan lain.
Pengedaran binomial menemui aplikasinya dalam statistik sains sosial. Ini digunakan untuk mengembangkan model untuk pemboleh ubah hasil dikotom di mana terdapat dua hasil. Contohnya ialah sama ada Republikan atau Demokrat akan memenangi pilihan raya.
Formula Pembahagian Binomial di Excel (dengan templat excel)
Saurabh belajar mengenai persamaan taburan binomial di sekolah. Dia mahu membincangkan konsep itu dengan kakaknya dan bertaruh dengannya. Dia berfikir bahawa dia akan membuang duit syiling sepuluh kali ganda. Dia mahu bertaruh $ 100 untuk mendapatkan lima ekor dalam 10 kali. Untuk pertaruhan ini, dia ingin mengira kebarangkalian mendapatkan tepat lima ekor dalam 10 lemparan.
Penyelesaian: Pertama kita harus mengetahui apa itu n, p, dan x.
Terdapat formula terbangun untuk pengedaran binomial adalah Excel, yang
Itu adalah BINOM.DIST (jumlah kejayaan, percubaan, kebarangkalian kejayaan, SALAH).
Untuk contoh taburan binomial ini adalah:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) di mana sel B2 mewakili bilangan kejayaan, sel B3 mewakili jumlah percubaan, dan sel B4 mewakili kebarangkalian kejayaan.
Oleh itu, pengiraan Pembahagian Binomial akan-
P (x = 5) = 0.24609375
Kebarangkalian mendapat tepat 5 ekor dalam 10 lemparan adalah 0.24609375
Catatan: SALAH dalam formula di atas menunjukkan fungsi jisim kebarangkalian. Ini mengira kebarangkalian terdapat betul-betul kejayaan daripada percubaan bebas. BENAR menunjukkan Fungsi Pembahagian Kumulatif. Ini mengira kebarangkalian terdapat paling banyak kejayaan x dari percubaan bebas.
